Задачи третьей олимпиады

Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими.

Шифрпреобразование простой замены в алфавите

, состоящем из различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита . Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (-) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются символы, стоящие на четных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем - символы, стоящие на нечетных местах (также в порядке возрастания их номеров), начиная с первого. В пункте B полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:

С	О	-	Г	Ж	Т	П	Н	Б	Л	Ж	О
Р	С	Т	К	Д	К	С	П	Х	Е	У	Б
-	Е	-	П	Ф	П	У	Б	-	Ю	О	Б
С	П	-	Е	О	К	Ж	У	У	Л	Ж	Л
С	М	Ц	Х	Б	Э	К	Г	О	Щ	П	Ы
У	Л	К	Л	-	И	К	Н	Т	Л	Ж	Г

восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ.

Дана последовательность чисел

в которой есть последняя цифра числа . Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (-) между словами, преобразуется в цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр согласно следующей таблице:

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я	-
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок последовательности из задачи 3.4, начинающийся с некоторого члена . При зашифровании каждая цифра сообщения складывается с соответствующей цифрой отрезка и заменяется последней цифрой полученной суммы. Восстановите сообщение:

2339867216458160670617315588
Равносторонний треугольник разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где и - середины сторон и соответственно. Известно, что и . В каком отношении точки и делят сторону , если известно, что из этих частей можно составить квадрат?

Рис. 11.

Next: Задачи четвертой олимпиады
Up: 7.5. Условия задач олимпиад
Previous: Задачи второй олимпиады
Contents:

Содержание раздела

С	О	-	Г	Ж	Т	П	Н	Б	Л	Ж	О
Р	С	Т	К	Д	К	С	П	Х	Е	У	Б
-	Е	-	П	Ф	П	У	Б	-	Ю	О	Б
С	П	-	Е	О	К	Ж	У	У	Л	Ж	Л
С	М	Ц	Х	Б	Э	К	Г	О	Щ	П	Ы
У	Л	К	Л	-	И	К	Н	Т	Л	Ж	Г

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я	-
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

С	О	-	Г	Ж	Т	П	Н	Б	Л	Ж	О
Р	С	Т	К	Д	К	С	П	Х	Е	У	Б
-	Е	-	П	Ф	П	У	Б	-	Ю	О	Б
С	П	-	Е	О	К	Ж	У	У	Л	Ж	Л
С	М	Ц	Х	Б	Э	К	Г	О	Щ	П	Ы
У	Л	К	Л	-	И	К	Н	Т	Л	Ж	Г

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я	-
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31

С	О	-	Г	Ж	Т	П	Н	Б	Л	Ж	О
Р	С	Т	К	Д	К	С	П	Х	Е	У	Б
-	Е	-	П	Ф	П	У	Б	-	Ю	О	Б
С	П	-	Е	О	К	Ж	У	У	Л	Ж	Л
С	М	Ц	Х	Б	Э	К	Г	О	Щ	П	Ы
У	Л	К	Л	-	И	К	Н	Т	Л	Ж	Г

А	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К	Л	М	Н	О	П	Р	С	Т	У	Ф	Х	Ц	Ч	Ш	Щ	Ь	Ы	Э	Ю	Я	-
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31